LXF83:Maxima

Версия 17:07, 10 марта 2008

Maxima: укротитель выражений

ЧАСТЬ 3 Сегодня Тихон Тарнавский расскажет вам о возможностях Maxima по укрощению упрощению выражений, содержащих рациональные, иррациональные и тригонометрические функции.

В этот раз я расскажу о штатных возможностях Maxima по упрощению и прочим преобразованиям выражений. В частности, речь пойдет об автоматическом раскрытии скобок и вынесении за скобки; об упрощении как арифметических действий над некоторыми элементами, так и выражений с участием степенных, показательных и логарифмических функций; а также об обработке тригонометрических выражений. Все эти функции призваны облегчать читаемость математических формул и повышать простоту их восприятия, а посему стоит уделить этому уроку достаточно внимания: при верном использовании данные манипуляции позволят сэкономить в процессе работы значительное количество времени.

Выражаясь рационально...

Существенная часть интересующих нас сегодня функций предназна- чена для преобразования рациональных выражений. Напомню, рацио- нальным называется выражение, состоящее только из арифметических операторов и возведения в натуральную степень; естественно, элементы такого выражения могут содержать и неарифметические и нестепенные функции – тогда такие элементы с точки зрения рационального выраже- ния считаются атомарными, т.е. неделимыми и непреобразуемыми. Функции, работающие с рациональными выражениями, описаны в разделе документации «Polynomials»; потому как рациональные функции с математической точки зрения рассматриваются как расши- рение многочленов (полиномов) – примерно так же, как рациональные числа считаются расширением целых (многочлены, кстати, тоже иногда называют целыми функциями; хотя общий математический смысл этого термина несколько шире). Имена всех функций Maxima по обработке рациональных выраже- ний содержат буквосочетание rat, но не от слова «крыса», а от слова «rational». И начнем мы знакомство с ними с функции, которая так и называется: rat(выражение). Эта функция преобразовывает рацио- нальное выражение к так называемой канонической форме (Canonical Rational Expression, CRE). То есть раскрывает все скобки, затем приводит все к общему знаменателю, суммирует и сокращает; кроме того, приво- дит все числа в конечной десятичной записи к рациональным. Тут надо заметить, что атомарные элементы, т.е. символы и чис- ла, в канонической форме рационального выражения в Maxima имеют другое внутреннее представление. При работе в интерфейсах Maxima и xMaxima об этом напоминает приписка /R/ после имени ячейки вывода (в wxMaxima и TeXmacs такая приписка отсутствует). При этом внешне, на видимом пользователю уровне, каноническая форма ничем, кроме дит все числа в конечной десятичной записи к рациональным. этого обозначения, от общей не отличается. Но один достаточно инте- ресный момент здесь есть: если каноническая форма рационального выражения используется в других рациональных выражениях, то пос- ледние также автоматически приводятся к канонической форме: Это может быть достаточно удобно, если вам нужно пошагово про- делать большое количество рациональных преобразований: вы можете, один раз вызвав rat(), ссылаться на предыдущие ячейки и благодаря этому далее автоматически видеть на каждом шаге итоговое выраже- ние в канонической, а значит, достаточно компактной и удобной к вос- приятию, форме. Если на каком-то этапе такое поведение станет вам мешать, вы можете вернуть выражение из канонической к общей форме с помощью функции ratdisrep(выражение). Кроме того, каноническая форма автоматически «отменяется» и в случае любых преобразований, не являющихся рациональными: Здесь, хотя %o2 было выражением в канонической форме, %o3 – уже выражение общего вида, так как оно не является рациональным. Скажем пару слов о приведении конечной десятичной записи чисел к рациональной. Конечная десятичная запись считается по опреде- лению приблизительной, что и понятно, т.к. при вычислениях самой Maxima такая запись может возникнуть исключительно при применении приближенных методов либо при ручном указании о переводе числа в десятичную запись из математической, в результате чего результат тоже, вероятнее всего, окажется приблизительным. Эта приблизительность учитывается и при переводе в рациональные числа, а ее уровень, то есть мера, на которую рациональное число при переводе может отклониться от конечной десятичной записи, регулируется переменной ratepsilon, равной по умолчанию 2.0e-8, т.е. 0.00000002. Если такое положение вещей вас не устраивает, вы можете убедить Maxima оставлять десятич- ную запись чисел как есть, установив в true значение флага keepfloat (по умолчанию он равен false). Следующая функция раскрывает скобки в рациональном выраже- нии и называется ratexpand() (одно из значений слова expand и есть «раскрыть скобки»). Здесь также действует опция keepfloat. Кроме нее, есть еще одна опция – ratdenomdivide; по умолчанию она установле- на в true, что приводит к тому, что каждая дробь, в которой числитель является суммой, распадается на сумму дробей с одинаковым знамена- телем. Если же сбросить эту опцию в false, тогда все дроби с одинако- вым знаменателем будут, напротив, объединены в одну дробь с числи- телем в виде суммы числителей изначальных дробей. То есть внешне результат будет в этом случае выглядеть почти так же, как и у функции rat(); к тому же единственная видимая пользователю разница прояв- ляется только в рациональных выражениях от нескольких переменных (или различных иррациональных выражений). Заключается эта разница в том, что после ratexpand() и в числителе, и в знаменателе дроби все скобки будут раскрыты, в случае же rat() слагаемые, где присутствуют, скажем, две переменных, будут сгруппированы, и одна из них будет вынесена за скобки (в документации такая форма записи называется «рекурсивной» (recursive): Кроме того, разница, конечно, заключается и во внутреннем пред- ставлении: с точки зрения программы, после ratexpand() выражение будет по-прежнему общего вида. Соответственно и все результаты дальнейших рациональных действий с выражением не будут автомати- чески «канонизироваться». Я специально обращаю ваше внимание на схожесть между результатами этих двух различных функций, поскольку в документации эта схожесть никак не обозначена: в описании обеих функций и примерах к ним нет вообще никаких ссылок друг на друга. Помимо флага ratdenomdivide, есть также функция, собирающая воедино дроби с одинаковыми знаменателями; зовут ее combine(): В дополнение к функции ratexpand() есть также флаг ratexpand, который по умолчанию равен false, а будучи установлен в true, приво- дит к тому, что все рациональные выражения в канонической форме отображаются и преобразовываются к общему виду сразу же с раскры- тыми скобками: Обратите внимание, что при применении этого флага выражение сохраняет каноническую форму. Действует в этом случае и флаг ratdenomdivide (напомню, что в строке %i1 этот флаг был установлен локально, используя сокращен- ную запись функции ev()): Иными словами, флаг ratexpand по своему действию аналоги- чен одноименной функции, но действует он на все без исключения канонические рациональные выражения и при этом оставляет их в канонической внутренней записи и изменяет только внешнее отобра- жение этой записи, сохраняя при этом и дальнейшую автоматическую «канонизацию».

...и не только рационально.

Помимо ratexpand() есть также и функция «просто» expand(). Различий между ними несколько, наиболее принципиальные таковы. Во- первых, ratexpand() раскрывает только рациональное выражение «вер- хнего уровня», все же подвыражения, не являющиеся рациональными, обрабатываются как атомарные, то есть внутрь них она не залезает; expand() же раскрывает скобки на всех уровнях вложенности: Во-вторых, ratexpand() приводит дроби-слагаемые к общему зна- менателю, а expand() этого не делает; в-третьих, на функцию expand не действует переключатель ratdenomdivide: И в-четвертых, expand() не преобразовывает к рациональным числам конечную десятичную запись – опять-таки, вне зависимости от флага keepfloat. Функция expand(), в отличие от своего рационального сородича, имеет несколько вариаций – в виде отдельных функций с похожими названиями, которые раскрывают скобки несколько по-разному. Первую мы уже рассмотрели. Вторая называется expandwrt(выражение, x, y, ..., v), где wrt расшифровывается как «with respect to...», то есть «отно- сительно...». Она раскрывает скобки не везде, а только относительно тех символов, которые заданы в списке аргументов после выражения. Другими словами, только там, где из скобок можно вынести хотя бы один из перечисленных символов:

(На предупреждение, возникающее при первом вызове функций expandwrt*(), можете не обращать внимания – на функционале, о кото- ром идет речь, оно никоим образом не отражается.) Если в выражении встречаются дроби, то по умолчанию эта функ- ция раскрывает скобки только в их числителях, оставляя знаменатели в покое. Изменить это поведение можно переключателем expandwrt_ denom, установив его в true (по умолчанию он равен false): И, наконец, последняя функция из этого семейства – expandwrt_ factored(выражение, x, y, ..., v) – раскрывает скобки лишь в тех сла- гаемых, где упомянутые символы встречаются не в одном, а в каждом из сомножителей: Раскрытием возведения в целую степень можно управлять как в контексте функции expand(), так и отдельно. В первом случае применя- ются переменные maxposex и maxnegex, определяющие соответствен- но максимальные положительный и отрицательный показатель степени, которые будут раскрываться этой функцией. По умолчанию оба пара- метра равны 1000. Переназначить их можно не только глобально, но и в контексте одного конкретного вызова функции expand() – в таком случае это делается с помощью дополнительных аргументов, задавае- мых после выражения: В противовес maxposex и maxnegex можно задать максимальные положительную и отрицательную степени, которые будут раскрываться автоматически, без вызова функций группы expand. За это отвечают переменные expop и expon, и по умолчанию они равны нулю, то есть автоматически степени не раскрываются вообще. Кроме самостоятельной функции expand(), существуют также фла- ги expand и expand(p, n) у функции ev(). Запись выражение, expand равносильна expand(ev(выражение)), а выражение, expand(p, n) – expand(ev(выражение, p, n)). Возможности управлять раскрытием скобок на этом не заканчива- ются. Еще одна функция – distrib() – представляет как бы облегченный вариант expand(). Она действует аналогично expand(), но только на один уровень в глубину: В противоположность функциям *expand*(), раскрывающим скоб- ки, можно также и разложить выражение на множители, то есть макси- мально повыносить все за скобки. Делается это с помощью функции factor(): Если функции factor() передать целое число, она разложит его на простые множители; если же передать рациональное число – на множи- тели будут разложены его числитель и знаменатель: Если многочлен не может быть представлен в виде произведения нескольких сомножителей, его можно попытаться преобразовать в сум- му таких произведений с помощью функции factorsum(): Функция factorsum() умеет раскладывать на множители только независимые слагаемые, то есть такие, которые не содержат одинако- вых переменных. Если мы раскроем скобки в выражении, содержащем в двух разных местах один и тот же символ, то так как коэффициенты при этом символе после раскрытия сгруппируются, factorsum() не сможет понять, каким именно образом разгруппировать их обратно: Нужно заметить, что функции factor() и factorsum(), хотя и не имеют в имени приставки rat, все же ведут себя в смысле разбора передаваемых им выражений не как expand() и сопутствующие, а как ratexpend(); то есть на любой не-рациональной функции останавлива- ются и внутрь не идут: Впрочем, об этом можно догадаться из документации, так как функции factor* описаны не в разделе Simplification, куда относятся expand*, а, так же, как и rat*, в разделе Polynomials. Выносить за скобки, а также раскрывать эти скобки можно не толь- ко специальной функцией, но и дополнительным флагом ко все той же канонической форме рациональных выражений. Флаг этот зовут ratfac, и по умолчанию он равен false, то есть вынесение за скобки не происходит. Если же его установить в true, то в каждом рациональном выражении, приведенном к канонической форме, все будет макси- мально вынесено за скобки, но без вызова функции factor(); напри- мер, в примере ниже не произошло обратного свертывания (x+1)2, хотя, будучи применен к первоначальному выражению, флаг ratfac сохранил и этот множитель нераскрытым (также можете сравнить этот пример с аналогичным примером к функциям ratexpand() и rat()):

Проще простого

Итак, о преобразованиях выражений мы уже поговорили достаточ- но – теперь перейдем к их упрощению. Об элементарных упрощениях мы уже говорили в предыдущий раз: они могут производиться авто- матически, на что влияет установленный флаг simp; и по умолчанию именно так и происходит. Здесь тоже все начинается с рациональных выражений, которыми занимается функция ratsimp(выражение). Она упрощает выражение за счет рациональных преобразований, но, в отличие от остальных функций по обработке рациональных выражений, работает в том числе и «вглубь», то есть иррациональные части выражения не рассматрива- ются как атомарные, а упрощаются, в том числе, и все рациональные элементы внутри них: На ratsimp() действуют те же флаги, что и на rat(): и ratexpand, и keepfloat, и ratfac. Но отличается она от rat() или ratexpand() не толь- ко умением работать «в глубину», но и некоторыми дополнительными рациональными преобразованиями, которые не поддерживаются этими двумя функциями: Кроме функции ratsimp(), есть еще и дополнительный переклю- чатель – ratsimpexpons. По умолчанию он установлен в false; если же назначить ему значение true – это приведет к автоматическому упроще- нию показателей степени: Функция ratsimp() – это уже достаточно мощный, и в то же время весьма быстрый, механизм упрощения; но, конечно, не доста- точный: ведь те действия, которые можно упростить в разнообраз- ных математических выражениях, не ограничиваются рациональны- ми. Поэтому все же основной плюс этой функции – это скорость. А для более серьезных упрощений существует расширенный вариант – fullratsimp(выражение). Эта функция последовательно применяет к переданному выражению функцию ratsimp(), а также некоторые не- рациональные преобразования – и повторяет эти действия в цикле до тех пор, пока выражение не перестанет в процессе них изменяться. За счет этого функция работает несколько медленнее, чем ratsimp(), зато дает более надежный результат – к некоторым выражениям, которые она может упростить с ходу, ratsimp() пришлось бы применять несколь- ко раз, а иногда та и вообще не справилась бы с задачей. И третья основная функция упрощения выражений – уже никак с предыдущими двумя не соотносящаяся – radcan(выражение). Если ratsimp() и fullratsimp() ориентированы на упрощение рациональ- ных действий, то radcan() занимается упрощением логарифмических, экспоненциальных функций и степенных с нецелыми рациональными показателями, то есть корней (радикалов). Например, выражение из второго примера в этом разделе radcan() сможет упростить сильнее, чем ratsimp()/fullratsimp(): В некоторых случаях наилучшего результата можно добиться, ком- бинируя radcan() с ratsimp() или fullratsimp(). С функцией radcan() смежны по действию еще два управляю- щих ключа. Один из них называется %e_to_numlog. Влияет он не на саму функцию, а на автоматическое упрощение. Если выставить его в true, то выражения вида e(r*log(выражение)), где r – рациональное число, будут автоматически раскрываться в выражениеr. Функция radcan() делает такие преобразования независимо от значения ключа. Второй ключ – radexpand (от radical, не путать с ratexpand) – влияет на упрощение квадратного корня из четной степени какого-либо выраже- ния. Он, в отличие от большинства переключателей, имеет не два, а три значения: при значении all, sqrt(x2) будет раскрываться в x – как для действительных, так и для комплексных чисел; при значении true (по умолчанию), sqrt(x2) для действительных чисел превращается в |x|, а для комплексных не преобразуется; а при значении false, sqrt(x2) не будет упрощаться вообще. Следующие две функции и один флаг относятся к упрощению фак- ториалов. Функция factcomb(выражение) проводит упрощения вида n!*(n+1) = (n+1)! и тому подобные. Функция minfactorial, напротив, сокращает факториалы, то есть действует по принципу n!/(n–1)! = n. И флаг sumsplitfact, который изначально установлен в true, нахо- дясь в состоянии false, приводит к тому, что после того, как отработает factcomb, minfactorial вызывается автоматически.

Вот под таким углом...

И напоследок поговорим о функциях для преобразования триго- нометрических формул. Здесь так же, как и у рациональных функ- ций, присутствует общая для всех приставка – trig; расшифровы- вать ее, думаю, особой нужды нет. Начнем по традиции с функции trigexpand(выражение). Она, как нетрудно догадаться, раскрывает скобки в тригонометрических выражениях: Здесь, как обычно, есть несколько управляющих флагов, первый из которых опять же является тезкой самой функции. Он приводит к повторному раскрытию всех синусов-косинусов, то есть фактически равнозначен повторному вызову самой функции: Второй флаг – halfangles – управляет раскрытием формул поло- винных углов. Оба эти флага по умолчанию сброшены. А следующие два флага – trigexpandplus и trigexpandtimes – отвечают соответ- ственно за применение формул сумм углов и кратных углов. То есть в примере выше сначала сработал флаг trigexpandplus, а затем – trigexpandtimes. Эти флаги по умолчанию установлены, что и видно из примера. Кроме всего уже упомянутого, есть еще флаги trigsign и triginverses. Первый принимает традиционные два значения (по умолчанию – true) и регулирует вынос знака за пределы тригонометрической функции, то есть, к примеру, sin(–x) упростится до –sin(x), а cos(–x) – до cos(x). Флаг triginverses – трехзначный, и умолчательное его значение равно all. Он отвечает за обработку сочетаний вида sin(asin(x)) или atan(tan(x)). Значение all позволяет раскрывать эти сочетания в обоих направлениях (напомню, что при этом часть корней будет теряться); зна- чение true оставляет разрешенным раскрытие только вида sin(asin(x)), то есть блокирует вариант с потерями периодических значений; а случай false запрещает оба направления преобразований. Функция, обратная trigexpand(), называется trigreduce(выраже- ние) – здесь, в полном соответствии со значением слова reduce, дейс- твуют формулы понижения степени. Например, применив дважды эту функцию к результату предыдущего примера, мы получим его в исход- ном виде (см. рис. наверху страницы). Эту функцию можно вызвать с более полным списком аргументов: trigreduce(выражение, переменная) – тогда формулы понижения степени будут применяться только по отношению к заданной перемен- ной (переменная может быть, как и почти везде, не только отдельным символом, но и выражением). Третья функция занимается уже упрощением, и зовут ее, соответ- ственно, trigsimp(выражение). Она старается упростить любое три- гонометрическое выражение, используя известные формулы, такие как sin2(x)+cos2(x)=1 и тому подобные. Для наилучшего результата ее можно комбинировать с trigreduce(), ratsimp()/fullratsimp() и radcan(). Этим возможности Maxima по преобразованию и упрощению раз- нообразных выражений еще не совсем исчерпаны, но основные из них мы рассмотрели в полной мере. В следующий раз поговорим немного о применении некоторых встроенных функций, о работе с векторами, мат- рицами и множествами и, возможно, о работе с логикой, с уравнениями и неравенствами, а также их системами.