Версия 14:32, 13 марта 2008

PHP. Загадка Монти Холла

У вас возникли сложности с загадкой из последнего выпуска LXF? Пол Хадсон (Paul Hudson) покажет вам, как решать такие задачи методом грубой силы, с помощью разума и команды тренированных коз.

Все, кто когда-либо изучал высшую математику, за редким исключением, относятся к числам с большим уважением. Посмотрите, с какой нежностью мы даём названия отдельным классам чисел, выражая своё восхищение их магией! Гармонические числа, совершенные числа, полусовершенные числа, гиперсовершенные числа, дружественные числа, и даже, верите или нет, сверхъестественные числа. Мы любим их за предсказуемость, неизменность и точность. Это даёт уверенность в их логичности, позволяет стоить сложные доказательства и делать с ними почти всё что угодно, кроме оплаты счёта в ресторане.

В те редкие моменты, когда я рискую выглядывать во внешний мир, я замечаю что несведущие в математике люди не имеют той любви и уважения к числам, которые испытывают остальные. Числа пугают их, а как известно страх приводит к злости, злость к ненависти, а ненависть — к страданиям. Как они ошибаются! Но мы можем посочувствовать их иррациональному ужасу, ведь мы тоже можем вспомнить как в начале своего романа с числами были потрясены их невероятной силой или или смущены их экзотической притягательностью.

Возьмём, к примеру, загадку Монти Холла. Этот относительно простой вопрос приводит многих людей в ужас до тех пор, пока они не примут магию чисел. Загадка носит имя Монти Холла (Monty Hall), ведущего старого американского игрового шоу под названием «Давайте заключим сделку» (Let’s make a Deal), в котором в том или ином виде эта ситуация повторялась каждый раз. Сама загадка звучит так: вы участвуете в игре, и ведущий предлагает вам выбрать одну из трёх дверей. За одной из них дорогая машина, главный приз! За другими двумя дверями находятся козы. После того, как вы выбрали дверь случайным образом, ведущий (который, конечно, знает, за какой дверью приз) открывает одну из оставшихся дверей, за который обнаруживается коза. Затем он предлагает вам или остаться у прежней двери, или изменить свой выбор и указать на другую, оставшуюся закрытой. Итак, вы смените дверь или останетесь на месте?

Правильный ответ, конечно же, сменить дверь, так как за второй дверью шанс получить машину гораздо выше. В этом выпуске мы напишем программу на PHP, которая доказывает правильность этого решения загадки Монти Холла. После чего я добавлю несколько настроек, чтобы чуть-чуть увеличить сложность нашего примера.

Ломаем голову

Перед тем, как писать какой-либо код, важно понять почему загадка Монти Холла причиняет людям такие страдания. Для начала определим несколько моментов, чтобы не ввести никого в заблуждение. Победой мы будем называть выбор двери, за которой находится машина. Поражение – выбор двери с козой. Двери будем различать по номерам: 1, 2 и 3. Ведущий – это ведущий игрового шоу, а игрок – это участник игры. Уф! Теперь можно приступить к анализу проблемы. В игре вы должны вначале выбрать дверь, и поскольку дверей три и возможность мошенничества мы не рассматриваем, вероятность угадать с первого раза равна одной трети.

Предположим, вы выбрали дверь номер 1. Существует один шанс из трёх (то есть 1/3), что за этой дверью находится приз. Ведущий точно знает, где машина, и он открывает дверь номер 2, чтобы показать козу. При этом двери номер 1 и номер 3 остаются закрытыми. И вот тут большинство людей совершает ошибку, так как они думают, что шансы найти машину за 1 и 3 дверями равные. «В конце концов, - объясняют они,-есть две двери на выбор, мошенничество мы не учитываем, значит мы можем следовать первому закону теории вероятностей, так как это та же самая задачка, какая была при трёх закрытых дверях».

Кончено, это колоссальная ошибка. Первый закон теории вероятностей тут вам не поможет. Вместо него необходимо воспользоваться правилами для ситуации, в которой уже что-то случилось, выражением для условной вероятности. Если вы выбрали первую дверь, то вероятность найти за ней приз равняется 1/3. Однако точно так же можно сказать, что вероятность обнаружения машины за одной из оставшихся дверей равна 2/3.

1-3 - это двери,
A-C - это возможности

Итак, теперь когда ведущий открывает одну из оставшихся дверей (в нашем примере он открыл дверь номер 2), вероятность найти машину за одной из оставшихся дверей по прежнему равна 2/3, однако вы теперь точно знаете, за которой из этих дверей находится коза! А это значит, что теперь вероятность найти машину за дверью номер 3 равна 2/3, тогда как у 1 двери остались прежние шансы 1/3. Итак, измените вы свой выбор или будете стоять на своём? Конечно, измените!

Диаграмма в правом нижнем углу наглядно демонстрирует ситуацию. Если вы выбрали третью дверь, существует три различных варианта развития событий. В случае A дверь номер 3 содержит козу, и ведущий откроет дверь номер два. Если мы останемся с дверью номер 3, то проиграем, а изменение выбора (на дверь номер 1) сулит выигрыш. В случае B за третьей дверью снова коза, а ведущий откроет дверь номер 1. Значит, останутся закрытыми третья дверь (наш выбор) и дверь номер 2. Если мы останемся с дверью номер 3, то проиграем, а победа нам достанется при изменении решения. Итак, и в случаях A и B для победы нам нужно изменить своё решение, в случае C при изменении своего выбора мы проиграем. Таким образом, вероятность выигрыша в случае изменения решения равна 2/3, тогда как настойчивость сулит победу только в 1/3 ситуаций.

Ломаем код

…

Начало и конец